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      數據包絡分析法2

      2019-09-26 463

          式(6-25a)是輸入型DEA對偶模型,其中對偶變量日的取值盡管無限制,但實 際上有00,i=1,2,… m;;>0,j=1,2…,0,則稱被評單位k。 是DEA有效的。 這里不加證明地給出如下結果,如果讀者想了解證明過程,請參考相關文獻 (魏權齡,2004)。 定理6-12R模型都具有最優解,并且min0=maxByA。<1。 定理6-2至少存在一個決策單元是DEA有效的。

          定理6-3決策單元的弱DEA有效和DEA有效與輸入量和輸出量的量綱 無關。 定理6-4決策單元的各輸入、輸出量同倍增長不會影響決策單元的弱DEA 有效性和DEA有效性。 定理6-5C2R的輸人模型和輸出模型的原問題具有相同的最優解,并且最 優目標函數值互為倒數;min E。 而axE云”對偶問題的最優解滿足關系(6-26)。 以上定理為DEA法奠定了理論基礎,通過這些定理可以得出以下結論。 

         (1)R模型都存在最優解,幾種模型的最優解是等價的。 

         (2)DEA有效性評價與輸入、輸出量量綱無關,也與它們的同倍增加和減少 無關。

          (3)DEA有效性評價實際上是各決策單元之間相對比較后得出的結果,是相 對有效性評價。

          (4)各決策單元必須是同一類單元,相互之間具有可比性,用于評價的輸入輸 出量種類相同(數值不同)。

           另外,在DEA模型(6-24)中,如果約束條件數n和決策變量a,、β個數 (m+o)之間,滿足關系(m十o)>n+1,則根據基本可行解的特性,最優的基本可 行解中必有決策變量等于0,那么能否根據DEA有效性的定義6-2,就斷定該決策 單元只是弱DEA有效的?一般不能。因為在這種情況下,C2R模型可能存在無 窮多最優解,其中最優解凸集的頂點在坐標軸上,凸集的內點都是最優解,這些內 點中可能存在各決策變量都大于零的點,此時是DEA有效的。 例6-3在例6-2中,以航線為決策單元,n=5,投入是運行成本,產出包括收 益、貢獻值和需求,因此,m=1,o=3。表6-7給出了投入和產出量的具體數值,現 評價這5條航線的有效性。 解取航線1為被評單位:ko=1,并令x=a3,y1=a1,y2=a2,y3=a4。根據 表6-7的數據,輸出型DEA對偶模型如下: 以其他航線為被評單位,可以給出另外4個類似的模型,可用ILOG/CPLEX 編程求解給出,即對于航線1:A:=0,iA3,p3=1.25,~1.125 對于航線2:A:=0,i決3,p3=1.25,7'=1.o227 對于航線3:pi=0,i3,p3=1.0,=1.6 對于航線4:p1=0,iA3,p3=1.5,7=1.680 對于航線5:p:=0,i產5,5E1.0.7c1.6 根據定理6-5和定義6-1可知,只有航線3和航線5至少是弱DEA有效的, 其他三條航線都是非DEA有效的。

           根據定理6-2可知,在航線3和航線5中至少 有一條是DEA有效的。根據互補松弛定理可知,對于航線3和航線5的情況,由 子對偶問題約束條件的松弛變量都等于0,很有可能原問題的決策變量最優解a、 a20.k=1,2.3,4,5,帶想這兩條航線都是DEA有效的。請同學們通過計算原間 題最優解ax、BA來驗證這個結論。 DEA法不能給出被評對象的優劣排序,只能評價其是否DEA有效。對于上 例,我們無法再給出航線3和航線5誰更好些。對于非DEA有效的航線1、航線2 和航線4,是否能根據最優解的結果,給出航線1最差的結論?請同學們討論這個 問題。 從上述討論可以看出,DEA法不受主觀判斷的影響,權重只受選擇的輸入量 和輸出量影響,也就是如果選擇不同的輸人量和輸出量,評價結果可能不同。

          例如,如果把需求從輸出量中刪除,也就是本公司對需求大?。ㄊ袌龇蓊~)不太關心, 則重新進行DEA分析發現,航線5的效率系數成為 對于航線5:p:=0,i3,p3=1.0,7=1.2 其他航線的效率系數不變。因此,航線5已變成非DEA有效的了,此時只有 航線3是DEA有效的。 上述結論與層次分析法產生的結果不太一致,層次分析法評價的結果排在前 面的不一定是DEA有效的。因為層次分析法分析的結果受權重影響比較大,權 重是由專家在屬性之間兩兩比較后給出的,受主觀因素影響比較重,所以只能通過 一致性檢驗判斷權重的合理性。

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