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      非線性的整數規劃問題

      2019-09-03 1782

          (1)每一個航班必須指派且僅能指派一個停機位即式中,W表示指派周期開始時已在位航班的集合,同時也表示在位航班??康耐? 機位的集合,對于航班iEM可以將W分成兩個子集,一個是航班i進港時仍然在 位的航班集合:W1(2)={k|D>A,kEW),D,和A,分別是航班k的出發和航班 i的到達時刻;另一個是航班i進港時已出發的子集W2。并且使用0-1型參數yw 表示使用機位的信息,在指派周期開始時,當航班kEW??繖C位p時等于1,否 則等于0。要記住,。是已知參數。約束條件(2-91)表示當航班i進港時,仍然被 占用的停機位p不能分配給航班i,如果W為空,則約束條件(2-91)也將為空。約 束條件(2-92)表示在指派周期開始時已經空閑的機位最多可指派給一個航班。 

          (2)停機位類型與機型的匹配約束 式中,P。和L,分別表示停機位p的類型和航班i的機型,該約束表示機位類型可 向下兼容,這一點與2.7.1節和2.7.2節相同。如果在航班波運作,給航班波指派 的機位不受機型限制,可以略去這一約束條件。 上述停機位指派問題是二次指派問題,是非線性的。為降低非線性帶來的求 解困難,可以將目標函數轉化為線性的。為此引人新的決策變量yg=xpxm,目 標函數(2-89)變為 引人新變量后,目標函數(2-94)已轉化為線性的,為保證新的線性整數規劃 與原非線性整數規劃等價,應滿足以下條件: 此時需要增加以下等價約束條件: 上述停機位指派問題可以直接用ILOG/CPLEX求解,但求解時間較長,對于 稍大規模的問題(如一個航班波的航班數超過10個),它幾乎不能完成求解任務。 

           此時需要設計宏啟發式算法,如模擬退火法、遺傳算法等。下面介紹一個應用模擬 退火法求解上述問題的實例。 解陳欣(207)詳細研究了這個問題的求解。將表2-20與表2-21的對應數 據相乘然后代人目標函數(2-89)或(2-94),即構成本問題的目標函數,W是空集目 停機位無機型限制,因此不需要約束條件(2-91)和(2-93),式(2-90)和式(2-92)是 最基本的約束條件,很容易構成。為節省篇幅,這里不再給出該停機位指派問題數 學模型的細節。 如果采用目標函數(2-89),應用ILOG/CPLEX在一般臺式計算機上求解本 問題,超過10h也不能給出結果,將問題規??s小到8個航班,應用非線性模型和 線性模型,在同一臺計算機上分別花費了2h和22min才解出結果,線性模型的求解速度顯然快了不少。但增加一個航班,即9個航班時,線性模型的求解時間也增 加到6h,其計算復雜度是指數型的,而非線性模型則計算了10h仍然沒有結果。 

            如果采用啟發式算法,如模擬退火法,在同一臺計算機上求解該問題(10個航 班)則只需0.3s即可給出結果,收斂速度很快。為了了解模擬退火法求解結果的精度,這里對一個航班波中有8個航班、9個航班和10個航班的三種情況應用模 擬退火法進行求解,發現在前兩種情況下,模擬退火法給出了與ILOG/CPLEX求 解線性模型相同的結果,第三種情況下模擬退火法很快給出結果,但ILOG/ CPLEX則未能給出結果。表2-22給出了三種情況下模擬退火法求解得到的停機位最佳指派結果,表中F表示第i個航班。計算中,限制8個航班和9個航班的航班波只分別使用1~8號和1~9號停機位。

           進一步研究發現,即使一個航班波到達25個航班,使用模擬退火法求解航班波停機位指派問題,計算時間也只有123s,可見模擬退火法求解這類問題具有很 高的效率,達到了實用化的程度。 這個實例分析表明,非線性的整數規劃問題,目前沒有好的精確解法,采用啟發式算法,是可行且適用的。

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